现代数字逻辑电子技术概论

二十一世纪，数字化浪潮席卷了电子工业领域，与传统的模拟电子系统相比，数字系统具备更加优异的精确与可靠性，逐步取代了许多模拟电路的应用场景。数字逻辑电路是对数字信号进行算术与逻辑运算的电路，以逻辑门作为基本电路单元（最早采用 TTL 工艺，伴随半导体工艺技术的不断进步，目前已经逐步被 CMOS 工艺取代），数字电路可以分为组合逻辑电路（基本逻辑门）和时序逻辑电路（逻辑门 + 反馈逻辑回路）两大类。

本篇文章讲解了数字逻辑电路的分析与设计所涉及到的基础理论，首先讲解了数制、码制和逻辑代数等基础知识，接着重点描述组合逻辑电路和时序逻辑电路的分析与设计方法，然后讨论了各种数字集成电路（ 含门电路、可编程逻辑元件、半导体存储器）的原理以及使用方法，并且介绍了硬件描述语言与可编程逻辑器件的相关知识，最后一部分讲解AD/DA转换以及脉冲波形的产生和转换电路。

数字逻辑概论

数字信号

模拟信号的电压或者电流在幅值和时间上都是离散的：

数字信号的电压或者电流的幅值随着时间连续变化：

数字信号可以采用高、低电平来表示，它们统称为逻辑电平：

1. 低电平：电压值位于 \(0 \sim V_{L(max)}\) 范围内，通常表示逻辑 0；
2. 高电平：电压值位于 \(V_{H(min)} \sim +V_{DD}\) 范围内，通常表示逻辑 1；
3. 电压值位于 \(V_{L(max)} \sim V_{H(min)}\) 范围内没有定义，不能使用；

CMOS 元器件电压值范围与数字逻辑电平之间的对应关系：

电压范围	逻辑值	逻辑电平
\(3.5V \sim 5V\)	1	高电平 H
\(0V \sim 1.5V\)	0	低电平 L
\(1.5V \sim 3.5V\)	无定义	无定义

数字波形是信号的逻辑电平相对于时间的图形化表达方式：

实际脉冲波形在高、低电平跳变时，边沿不是陡直的，都需要经历一个过渡过程：

• 脉冲幅值 \(V_m\)：脉冲电压的最大变化幅度，即图中高电平的电压值，单位为伏特 V；
• 上升时间 \(t_r\)：指矩形脉冲上升沿从 \(10\% V_m\) 上升到 \(90\% V_m\) 时所经历的时间，单位为纳秒 ns；
• 下降时间 \(t_f\)：指矩形脉冲下降沿从 \(90\% V_m\) 下降到 \(10\% V_m\) 时所经历的时间，单位为纳秒 ns；
• 周期 \(T\)：周期性重复的矩形脉冲中，两个相邻脉冲之间的时间间隔。有时也用频率来表示，即 \(f = \frac{1}{T}\)；
• 脉冲宽度 \(t_w\)：从矩形脉冲上升沿的中间点 \(50\% V_m\) 开始，到脉冲下降沿的中间点 \(50\% V_m\) 为止的一段时间；
• 占空比 \(q\)：表示矩形脉冲宽度（高电平）占据整个周期的百分比；

▶【例题】假设周期性矩形脉冲波形的高电平持续时间为 6ms，低电平的持续时间为 10ms，求解占空比 q 和频率 f ？

▶【解答】根据条件可以得到脉动宽度 \(t_w = 6ms\) 和周期 \(T = 6ms + 10ms = 16ms\)，从而可以计算出：

\[ \begin{aligned} 占空比 &\implies q = \frac{6 ms}{10 ms} \times 100\% = 37.5\% \\ 频率 &\implies f = \frac{1}{T} = \frac{1}{16 \times 10^{-3}s} = 62.5 Hz \end{aligned} \]

数制

数制是一种计数规则，主要是指每一位的构成，以及从低位向高位的进位。例如：十进制是以 10 为基数的计数体制，采用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个数值，其进位的规则是逢十进一。

二进制则是以 2 为基数,采用 0 和 1 两个数值，其进位规则是逢二进一，其中左侧是最高有效位（MSB），右侧为最低有效位(LSB)。

注意：二进制数中的每 1 个二进制数称为 1 bit 位，而 8 位二进制数被称为 1 Byte 字节。

下面的表格对照了 十（Decimal）、二（Binary）、八（Octonary）、十六（Hexadecimal）进制的特点：

下面的表格展示了常用进制数值的换算关系：

二进制 ➔ 十进制

二进制数转换为十进制的方法，按照按权展开公式进行计算。即将每个位上的数值与相应位置的权相乘，最后再求和。

▶【例题】将二进制整数 \((1001 1101)_2\) 转换为十进制数。

▶【例题】将二进制小数 \((0.1011)_2\) 转换为十进制数。

十进制整数 ➔ 二进制

十进制整数转换为二进制数主要有加权求和法、除二取余法两种方式。

加权求和法

加权求和法是通过确定一组二进制权，让它们的和等于已知十进制数。

▶【例题】将十进制整数 \((9)_{10}\) 转换为二进制数。

▶【例题】将十进制整数 \((82)_{10}\) 转换为二进制数。

▶【例题】将十进制整数 \((125)_{10}\) 转换为二进制数。

除二取余法

除二取余法是将十进制整数除以 2 取其余数，所得之商再除以 2，再取其余数，如此重复直到商为 0，每次得到的余数就构成了二进制数的对应位。其中，第一个余数为二进制数的最低位，最后一个余数为二进制数的最高位。

▶【例题】将十进制数 \((45)_{10}\) 转换为二进制数。

十进制小数 ➔ 二进制

十进制小数转换为二进制数同样可以选择加权求和法、除二取余法两种方式。

加权求和法

加权求和法是通过确定一组二进制权，让它们的和等于已知十进制数。

▶【例题】将十进制小数 \((0.625)_{10}\) 转换为二进制数。

除二取余法

除二取余法是将十进制整数除以 2 取其余数，所得之商再除以 2，再取其余数，如此重复直至小数部分为 0 或者小数部分的位数满足误差要求，然后四舍五入为止，每次得到的整数就构成了二进制数的对应位。

▶【例题】将十进制小数 \((0.3125)_{10}\) 转换为二进制数。

▶【例题】将十进制小数 \((0.562)_{10}\) 转换为二进制数，要求转换误差小于 \(1\%\)。

如果误差要求小于 \(1\%\)，那么 \(2^{-m} \le 1\% \implies m \ge \frac{2}{\lg 2} = 6.64 \implies m = 7\)，即保留 7 位二进制结果即可：

接下来校对上面得到二进制结果 \((0.1000111)_{2}\) 的转换误差，

由于 \((0.562)_{10} - (0.555)_{10} \approx 0.7\%\) 误差小于 \(1\%\)，所以最后得到的二进制结果满足转换误差的要求。

二进制 ➔ 十六进制

由于 4 位二进制数恰好拥有 16 个状态，如果将这 4 位二进制数看作整体，其进位输出正好是逢十六进一，所以可以采用分组转换法，即以二进制数的小数点为基准，整数部分从右至左每 4 位分成一组，而小数部分从左至右每 4 位也分成一组，不足 4 位的以 0 进行补足，然后将每一组数以一个十六进制数代替。

▶【例题】将二进制小数 \((1101\ 1001\ 1011\ 0011 . 01)_{2}\) 转换为十六进制数。

所以，最终的转换结果为 \((1101\ 1001\ 1011\ 0011.01)_2 = (D9B3.4)_{16}\)。

十六进制 ➔ 二进制

将每个十六进制数改写为等值的 4 位二进制数即可，并且保持高低位的次序不变。

▶【例题】将十六进制小数 \((4E6.97C)_{16}\) 转换为二进制数。

所以，最终的转换结果为 \((4E6.97C)_{16} = (0100\ 1110\ 0110. 1001\ 0111\ 1100)_2\)。

十六进制 ➔ 十进制

可以根据按权展开公式进行计算，即将每个数与相应位置上的权相乘，然后再进行求和运算。

▶【例题】将十六进制小数 \((3A.C)_{16}\) 转换为十进制数。

所以，最终的转换结果为 \((3A.C)_{16} = (58.75)_{10}\)。

十进制 ➔ 十六进制

将十进制转换为十六进制，可以先转换为二进制数，然后再将得到的二进制数转换为等值的十六进制数。

当然，也可以采用除以十六取余法直接从十进制整数转换为十六进制。

▶【例题】将十进制整数 \((650)_{10}\) 转换为十六进制数。

对于十进制小数转换为十六进制，则需要使用乘以十二取整法。

▶【例题】将十进制小数 \((0.75)_{10}\) 转换为十六进制数。

二进制算术运算

当两个二进制数表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种运算称为算术运算。

加法

二进制数加法的运算规则与十进制数加法类似，只是其进位规则为逢二进一。

对于一位二进制数的相加运算，会向左侧相邻的高位产生进位：

对于多位二进制数的加法从最低位（最右侧）开始，每次取被加数和加数的一位相加，然后逐一向左侧相邻的高位进位。

减法

二进制减法运算当中，当 0 减去 1 不够减时，需要向左边高位进行借位，借的这一位作为 10 处理（即十进制数 2），也称为借一为二。

\[ \begin{aligned} 0 - 0 &= \color{Red}0 &\implies 借位为\ \color{Green}0 \\ 1 - 0 &= \color{Red}1 &\implies 借位为\ \color{Green}0 \\ 1 - 1 &= \color{Red}0 &\implies 借位为\ \color{Green}0 \\ 0 - 1 &= \color{Red}-11 &\implies 借位为\ \color{Green}1 \\ \end{aligned} \]

当两个一位二进制数相减时，如果低位向本位的借位一直为 1，那么计算的四种情况为：

当两个多位二进制数相减时，从最低位（最右边）开始，每次取被减数与减数的 1 位相减；同时还要考虑低位向本位的借位，如果被减数小于减数，就要将减数与被减数交换位置，用减数减去被减数，然后在差值的前面添加负号-。

乘法

被乘数与乘数中某一位相乘的结果，称为部分积。

\[ \begin{aligned} 0 \times 0 &= \color{Red}0 \\ 0 \times 1 &= \color{Red}0 \\ 1 \times 0 &= \color{Red}0 \\ 1 \times 1 &= \color{Red}1 \\ \end{aligned} \]

▶【例题】计算两个四位二进制数 \(1011\) 和 \(1001\) 的积？

所以，多位二进制数 \(1011\) 乘以 \(1001\) 的积为 \(1100011\)。

注意：计算机当中，乘法运算是通过左移被乘数、加法两种运算共同完成的。

除法

从被除数的最高位开始，逐位向低位不断减去除数，够减时商为 1，不够减时商为 0，这样不断减下去就可以求得商。在二进制除法当中，每一位商的值为 0 或者 1。

\[ \begin{aligned} 0 \div 1 &= \color{Red}0 \\ 1 \div 1 &= \color{Red}1 \\ \end{aligned} \]

注意：类似于十进制的除法，二进制的除数不能为 0，否则没有意义。

▶【例题】计算两个四位二进制数 \(1010\) 和 \(111\) 的商？

注意：计算机当中，除法运算是通过右移被除数、减法两种运算共同完成的。

有符号数

日常生活当中，通常在一个数的前面采用 + 号表示正数，减号 - 表示负数。由于数字系统只能识别和处理 0 和 1 表示的二进制数据，因此通常将正号 + 用 0表示负号用 1 表示。将数的符号和值分别用 0 和 1 进行编码，所表示出来的二进制数称为机器数，机器数真正的值（即用正负符号表示的十进制或二进制数值）称为真值。机器数可以分为有符号和无符号两种类型：

1. 无符号数：所有二进制位全部用来表示数值，例如 8 位无符号整数的 8 位全部都是用来表示数值的数值位：
2. 有符号数：符号和数值分别采用二进制数进行表示，例如 8 位无符号整数左边的最高位作为符号位，其余位为数值位：

有符号数可以进一步分为原码、反码、补码形式：

原码

原码就是将正数的符号位用 0 表示，负数的符号位用 1 表示，数值用绝对值的二进制数形式表示。

因此，真值 0 也会拥有 +0 和 -0 两种不同的表示形式：

注意：计算机当中，位 bit 是二进制数据的最小单位，一位二进制数就是 1 比特（bit），通常将 8 位二进制数称为 1 字节（Byte），而 4 位二进制数称为半字节（Nibble /ˈnɪbl/）。

反码

原码简单易懂且便于转换为真值，但是实现加、减运算较为麻烦。为了简化计算机的处理过程，通常会将减法运算转换为加法运算，于是引进了补码的概念。由于补码与反码之间存在一定的换算关系，所以这里首先对反码进行介绍。

• 正数的反码与原码相同；
• 负数的反码是其正数的反码，但是符号位保持为1，数值部分则按位取反；

反码当中 0 同样拥有 +0 和 -0 两种不同的表示形式：

补码

减法运算 10 – 5 可以用 10 + 7 的加法运算来代替，而 5 和 7 相加正好是进位的模数 12，所以称 7 为 -5 对模 12 的补数， 也称为补码。

模是指一个计量系统的量程，例如时钟能够表示 \(1 \sim 12\)，那么以 \(12\) 作为一个计数循环就被称为模。而四位二进制数能够表示 \(0000 \sim 1111\) 其模为 16，同理八位二进制数的模为 \(2^8 = 256\)。

所以，在舍弃进位的条件下，减去某数的计算可以采用加上这个数补码的计算来代替，该结论同样适用于二进制数的减法运算。

例如减法 \(1011 - 0111 = 0100\) 对应的十进制形式为 \(11 - 7 = 4\)，在舍弃进位的条件下，可以采用 \(1011 + 1001 = 0100\) 形式代替，对应的十进制等式是 \(11 + 9 = 4\)。这是因为四位二进制数的模数为 16，而 9 恰好就是 -7 对模 16 的补码。

• 正数的补码与原码相同；
• 负数的补码是符号位为 1 的负数，数值部分为其绝对值按位取反，并在最低位加 1，即负数的补码等于其反码加上一；

注意，补码当中，真值 0 的表示是唯一的，即：

负数补数的简便求解方法：从右侧最低位向左侧最高位扫描，保留出现第一个 1 的位，后续的其它位全部按位取反，符号位保持不变。

▶【例题】使用八位二进制数，将 -90 用补码表示出来：

▶【例题】使用八位二进制数，将 -1 用补码表示出来：

求解一个补码的补码，就可以将补码转换成原码，即 \([[x]_补]_补 = [x]_原\)。

▶【例题】求解 \([1010 1010]_补\) 的原码和真值？

将补码当中所有等于 1 的位的权值相加（包括符号位，负数的符号位的权值被赋予负值），就可以得到其十进制数。

▶【例题】确定补数 \([0101\ 0110]_补\) 和 \([1010\ 1010]_补\) 的十进制值？

\[ [0101\ 0110]_补 = 1 \times 2^6 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 = 64 + 16 + 4 + 2 = +86 \]

\[ [1010\ 1010]_补 = 1 \times (-2)^7 + 1 \times 2^5 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^1 = -128 + 32 + 8 + 2 = -86 \]

二进制代码

逻辑代数

组合逻辑电路

硬件描述语言 Verilog HDL

锁存器和触发器

时序逻辑电路

逻辑门电路

半导体存储器

可编程逻辑器件

脉冲波形的产生与变换

数模与模数转换器